Правила арифметических действий с рациональными числами. Свойства действий с рациональными числами
Действия с десятичными дробями.
Сложение и вычитание десятичных дробей.
1. Уравнять количество цифр после запятой.
2. Сложить или вычесть десятичные дроби запятая под запятой по разрядам.
Умножение десятичных дробей.
1. Умножить, не обращая внимания на запятые.
2. В произведении запятой отделить справа столько цифр, сколько их во всех множителях
вместе после запятой.
Деление десятичных дробей.
1. В делимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой
в делителе.
2. Разделить целую часть, поставить в частном запятую. (Если целая часть меньше делителя, то
частное начинается с нуля целых)
3. Продолжить деление.
Действия с положительными и отрицательными числами.
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.
а – (– в) = а + в
Все остальные случаи рассматриваются как сложение чисел.
Сложение двух отрицательных чисел:
1. результат записываем со знаком «–»;
2. модули складываем.
Сложение чисел с разными знаками:
1. ставим знак большего модуля;
2. вычитаем из большего модуля меньший.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.
1. При умножении и делении чисел с разными знаками результат записывается со знаком
минус.
2. При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками результат записывается со знаком
плюс.
Действия с обыкновенными дробями.
Сложение и вычитание.
1. Привести дроби к общему знаменателю.
2. Сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить без изменения.
Умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель (по возможности – сократить).
Делитель (вторую дробь) «перевернуть» и выполнить умножение.
Деление.
Умножение.
Выделение целой части из неправильной дроби.
38
5 = 38: 5 = 7(ост.3) = 7
3
5
Перевод смешанного числа в неправильную дробь.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=
1
.
+
Сокращение дроби.
Сократить дробь – разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
6
7
6
7 . Можно короче:
30:5
35:5 =
30
35 =
Например:
30
35 =
.
1.
Разложить знаменатели дробей на простые
множители.
Приведение дробей к общему знаменателю.
5 4
7
16 +
36
80 =
71
80
2. Вычеркнуть одинаковые множители.
3. Оставшиеся множители от знаменателя первой
дроби перемножить и записать как
дополнительный множитель для второй дроби, а
от второй дроби – к первой дроби.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби
на её дополнительный множитель.
9
20 =
35
80 +
Сложение и вычитание смешанных чисел.
Сложить или вычесть отдельно целые части, отдельно дробные.
«Особые» случаи:
«Превратить» 1 в дробь, у которой числитель и
2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Занять 1 и «превратить» её в дробь, у которой числитель и
знаменатель равны знаменателю данной дроби.
Занять 1 и прибавить знаменатель к числителю.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Перевести смешанные числа в неправильные дроби и выполнить умножение или деление.
Умножение и деление смешанных чисел.
2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1·1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7
На этом уроке мы вспомним основные свойства действий с числами. Мы не только повторим основные свойства, но и научимся применять их к рациональным числам. Все полученные знания закрепим с помощью решения примеров.
Основные свойства действий с числами:
Первые два свойства - это свойства сложения, следующие два - умножения. Пятое свойство относится к обеим операциям.
Ничего нового в этих свойствах нет. Они были справедливы и для натуральных, и для целых чисел. Они также верны для рациональных чисел и будут верны для чисел, которые мы будем изучать дальше (например, иррациональных).
Перестановочные свойства:
От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется.
Сочетательные свойства: , .
Сложение или умножение нескольких чисел можно делать в любом порядке.
Распределительное свойство: .
Свойство связывает обе операции - сложение и умножение. Также если его читать слева направо, то его называют правилом раскрытия скобок, а если в обратную сторону - правилом вынесения общего множителя за скобки.
Следующие два свойства описывают нейтральные элементы для сложения и умножения: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют исходного числа.
Еще два свойства, которые описывают симметричные элементы для сложения и умножения, сумма противоположных чисел равна нулю; произведение обратных чисел равно единице.
Следующее свойство: . Если число умножить на ноль, в результате всегда будет ноль.
Последнее свойство, которое мы рассмотрим: .
Умножив число на , получаем противоположное число. У этого свойства есть особенность. Все остальные рассмотренные свойства нельзя было доказать, используя остальные. Это же свойство можно доказать, используя предыдущие.
Умножение на
Докажем, что если умножить число на , то получим противоположное число. Используем для этого распределительное свойство: .
Оно верно для любых чисел. Подставим вместо числа и :
Слева в скобках стоит сумма взаимно противоположных чисел. Их сумма равна нулю (у нас есть такое свойство). Слева теперь . Справа , получаем: .
Теперь слева у нас стоит ноль, а справа - сумма двух чисел. Но если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа взаимно противоположны. Но у числа только одно противоположное число: . Значит, - это и есть : .
Свойство доказано.
Такое свойство, которое можно доказать, используя предыдущие свойства, называют теоремой
Почему здесь нет свойств вычитания и деления? Например, можно было бы записать распределительное свойство для вычитания: .
Но так как:
- вычитание любого числа можно эквивалентно записать в виде сложения, заменив число на противоположное:
- деление можно записать в виде умножения на обратное число:
Значит, свойства сложения и умножения вполне можно применять для вычитания и деления. В итоге список свойства, которые необходимо запомнить, получается короче.
Все рассмотренные нами свойства не являются исключительно свойствами рациональных чисел. Всем этим правилам подчиняются и другие числа, например, иррациональные. Например, сумма и противоположного ему числа равна нулю: .
Теперь мы перейдем к практической части, решим несколько примеров.
Рациональные числа в жизни
Те свойства предметов, которые мы можем описать количественно, обозначить каким-нибудь числом, называются величинами : длина, вес, температура, количество.
Одну и ту же величину можно обозначить и целым, и дробным числом, положительным или отрицательным.
Например, ваш рост м - дробное число. Но ведь можно сказать, что он равен см - это уже целое число (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Еще один пример. Отрицательная температура по шкале Цельсия будет положительной по шкале Кельвина (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
При строительстве стены дома один человек может ширину и высоту измерить в метрах. У него получаются дробные величины. Все вычисления дальше он будет проводить с дробными (рациональными) числами. Другой человек может все измерить в количестве кирпичей в ширину и высоту. Получив только целые значения, он и вычисления будет проводить с целыми числами.
Сами величины не бывают ни целыми, ни дробными, ни отрицательными, ни положительными. Но число, которым мы описываем значение величины, уже является вполне конкретным (например, отрицательным и дробным). Это зависит от шкалы измерений. И когда мы от реальных величин переходим к математической модели, то работаем с конкретным типом чисел
Начнем со сложения. Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и действия выполнять можно в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними. Для этого поменяем слагаемые местами. Например:
Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются.
Противоположные числа в сумме дают ноль. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются. Используя эти свойства, а также переместительный закон сложения, можно облегчить вычисление значения, например, следующего выражения:
Числа с дополняющими друга десятичными «хвостами» легко складываются. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности. Используем эти свойства при вычислении значения следующего выражения:
Перейдем к умножению. Есть пары чисел, которые легко перемножить. Используя переместительное свойство, можно переставить множители так, чтобы они оказались рядом. Количество минусов в произведении можно посчитать сразу и сделать вывод о знаке результата.
Рассмотрим такой пример:
Если из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю, например: .
Произведение обратных чисел равно единице, а умножение на единицу не меняет значение произведения. Рассмотрим такой пример:
Рассмотрим пример с использованием распределительного свойства. Если раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 36 Действия над рациональными числами
Как известно, две дроби m / n и k / l равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk .
Например, 1 / 3 = 2 / 6 , так как 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 , поскольку (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5 , так как 0 5 = 1 0 и т. д.
Очевидно, что для любого целого числа r , не равного 0,
: m / n = m r / n r
Это вытекает из очевидного равенства т (п r ) = п (т r ). Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов. Например,
5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 и т. д,
1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 и т. д.
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 и т. д.
В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль). Напомним, как определяются эти действия.
Сумма двух рациональных чисел m / n и k / l определяется формулой :
Произведение двух рациональных чисел m / n и k / l определяется формулой :
m / n k / l = mk / nl (2)
Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) следовало бы показать, что сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители. Например,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
и т. д. Однако рассмотрение этих вопросов выходит за пределы нашей программы.
При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:
1) коммутативный (или переместительный) закон сложения
m / n + k / l = k / l + m / n
2) ассоциативный (или сочетательный) закон сложения:
( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )
3) коммутативный (или переместительный) закон умножения:
m / n k / l = k / l m / n
4) ассоциативный (или сочетательный) закон умножения:
( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )
5) дистрибутивный (или распределительный) закон умножения относительно сложения:
( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q
Сложение и умножение являются основными алгебраическими действиями. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к сложению и умножению.
Разностью двух рациональных чисел m / n и k / l называется такое число х , которое в сумме с k / l дает m / n . Другими словами, разность m / n - k / l
k / l + x = m / n
Можно доказать, что такое уравнение всегда имеет корень и притом только один:
Таким образом, разность двух чисел m / n и k / l находится по формуле:
Если числа m / n и k / l равны между собой, то разность их обращается в нуль; если же эти числа не равны между собой, то разность их либо положительна, либо отрицательна. При m / n - k / l > 0 говорят, что число m / n больше числа k / l ; если же m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n меньше числа k / l .
Частным от деления рационального числа m / n на рациональное число k / l называется такое число х , которое в произведении с k / l дает m / n . Другими словами, частное m / n : k / l определяется как корень уравнения
k / l х = m / n .
Если k / l =/= 0, то данное уравнение имеет единственный корень
х = ml / nk
Если же k / l = 0, то это уравнение либо совсем не имеет корней (при m / n =/= 0), либо имеет бесконечно много корней (при m / n = 0). Желая сделать операцию деления выполнимой однозначно, условимся не рассматривать вовсе деление на нуль. Таким образом, деление рационального числа m / n на рациональное число k / l определено всегда, если только k / l =/= 0. При этом
m / n : k / l = ml / nk
Упражнения
295. Вычислить наиболее рациональным способом и указать, какими законами действий приходится при этом пользоваться;
а) (5 1 / 12 - 3 1 / 4) 24; в) (333 1 / 3 4) (3 / 125 1 / 16) .
б) (1 / 10 - 3 1 / 2) + 9 / 10
Рисунок. Арифметические действия над рациональными числами.
Текст:
Правила при действиях с рациональными числами:
. при сложении чисел с одинаковыми знаками необходимо сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак;
. при сложении двух чисел с разными знаками из числа с большим модулем вычитают число с меньшим модулем и перед полученной разностью ставят знак числа, имеющего больший модуль;
. при вычитании одного числа из другого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - b = а + (-b)
. при умножении двух чисел с одинаковыми знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак плюс;
. при умножении двух чисел с разными знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак минус;
. при делении чисел с одинаковыми знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак плюс;
. при делении чисел с разными знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак минус;
. при делении и умножении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль:
. на нуль делить нельзя.
На этом уроке мы вспомним основные свойства действий с числами. Мы не только повторим основные свойства, но и научимся применять их к рациональным числам. Все полученные знания закрепим с помощью решения примеров.
Основные свойства действий с числами:
Первые два свойства - это свойства сложения, следующие два - умножения. Пятое свойство относится к обеим операциям.
Ничего нового в этих свойствах нет. Они были справедливы и для натуральных, и для целых чисел. Они также верны для рациональных чисел и будут верны для чисел, которые мы будем изучать дальше (например, иррациональных).
Перестановочные свойства:
От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется.
Сочетательные свойства: , .
Сложение или умножение нескольких чисел можно делать в любом порядке.
Распределительное свойство: .
Свойство связывает обе операции - сложение и умножение. Также если его читать слева направо, то его называют правилом раскрытия скобок, а если в обратную сторону - правилом вынесения общего множителя за скобки.
Следующие два свойства описывают нейтральные элементы для сложения и умножения: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют исходного числа.
Еще два свойства, которые описывают симметричные элементы для сложения и умножения, сумма противоположных чисел равна нулю; произведение обратных чисел равно единице.
Следующее свойство: . Если число умножить на ноль, в результате всегда будет ноль.
Последнее свойство, которое мы рассмотрим: .
Умножив число на , получаем противоположное число. У этого свойства есть особенность. Все остальные рассмотренные свойства нельзя было доказать, используя остальные. Это же свойство можно доказать, используя предыдущие.
Умножение на
Докажем, что если умножить число на , то получим противоположное число. Используем для этого распределительное свойство: .
Оно верно для любых чисел. Подставим вместо числа и :
Слева в скобках стоит сумма взаимно противоположных чисел. Их сумма равна нулю (у нас есть такое свойство). Слева теперь . Справа , получаем: .
Теперь слева у нас стоит ноль, а справа - сумма двух чисел. Но если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа взаимно противоположны. Но у числа только одно противоположное число: . Значит, - это и есть : .
Свойство доказано.
Такое свойство, которое можно доказать, используя предыдущие свойства, называют теоремой
Почему здесь нет свойств вычитания и деления? Например, можно было бы записать распределительное свойство для вычитания: .
Но так как:
- вычитание любого числа можно эквивалентно записать в виде сложения, заменив число на противоположное:
- деление можно записать в виде умножения на обратное число:
Значит, свойства сложения и умножения вполне можно применять для вычитания и деления. В итоге список свойства, которые необходимо запомнить, получается короче.
Все рассмотренные нами свойства не являются исключительно свойствами рациональных чисел. Всем этим правилам подчиняются и другие числа, например, иррациональные. Например, сумма и противоположного ему числа равна нулю: .
Теперь мы перейдем к практической части, решим несколько примеров.
Рациональные числа в жизни
Те свойства предметов, которые мы можем описать количественно, обозначить каким-нибудь числом, называются величинами : длина, вес, температура, количество.
Одну и ту же величину можно обозначить и целым, и дробным числом, положительным или отрицательным.
Например, ваш рост м - дробное число. Но ведь можно сказать, что он равен см - это уже целое число (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Еще один пример. Отрицательная температура по шкале Цельсия будет положительной по шкале Кельвина (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
При строительстве стены дома один человек может ширину и высоту измерить в метрах. У него получаются дробные величины. Все вычисления дальше он будет проводить с дробными (рациональными) числами. Другой человек может все измерить в количестве кирпичей в ширину и высоту. Получив только целые значения, он и вычисления будет проводить с целыми числами.
Сами величины не бывают ни целыми, ни дробными, ни отрицательными, ни положительными. Но число, которым мы описываем значение величины, уже является вполне конкретным (например, отрицательным и дробным). Это зависит от шкалы измерений. И когда мы от реальных величин переходим к математической модели, то работаем с конкретным типом чисел
Начнем со сложения. Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и действия выполнять можно в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними. Для этого поменяем слагаемые местами. Например:
Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются.
Противоположные числа в сумме дают ноль. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются. Используя эти свойства, а также переместительный закон сложения, можно облегчить вычисление значения, например, следующего выражения:
Числа с дополняющими друга десятичными «хвостами» легко складываются. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности. Используем эти свойства при вычислении значения следующего выражения:
Перейдем к умножению. Есть пары чисел, которые легко перемножить. Используя переместительное свойство, можно переставить множители так, чтобы они оказались рядом. Количество минусов в произведении можно посчитать сразу и сделать вывод о знаке результата.
Рассмотрим такой пример:
Если из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю, например: .
Произведение обратных чисел равно единице, а умножение на единицу не меняет значение произведения. Рассмотрим такой пример:
Рассмотрим пример с использованием распределительного свойства. Если раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко.