В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A , а сторона b - как прилежащая к углу A и противолежащая углу В .

Типы прямоугольных треугольников

• Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником , а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку .

Свойства

Высота

Высота прямоугольного треугольника.

Тригонометрические соотношения

Пусть h и s (h >s ) сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Тогда:

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трёх описанных окружностей.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Wentworth G.A. A Text-Book of Geometry . - Ginn & Co., 1895.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Прямоугольный треугольник" в других словарях:

прямоугольный треугольник - — Тематики нефтегазовая промышленность EN right triangle … Справочник технического переводчика

И (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ, прямоугольная, прямоугольное (геом.). Имеющий прямой угол (или прямые углы). Прямоугольный треугольник. Прямоугольные фигуры. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

треугольник - ▲ многоугольник имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка

ТРЕУГОЛЬНИК, а, муж. 1. Геометрическая фигура многоугольник с тремя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы. Прямоугольный т. Деревянный т. (для черчения). Солдатский т. (солдатское письмо без конверта, свёрнутое уголком; разг.). 2 … Толковый словарь Ожегова

Треугольник (многоугольник) - Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Энциклопедический словарь

треугольник - а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений

А; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь

Инструкция

Углы, противолежащие катетам a и b обозначим соответственно через A и B. Гипотенуза, по определению, это сторона прямоугольного треугольника, которая противоположна прямому углу (при этом с другими сторонами треугольника гипотенуза образует острые углы). Длину гипотенузы обозначим через с.

Вам понадобится:
Калькулятор.

Воспользуйтесь для катета следующим выражением: a=sqrt(c^2-b^2), в том случае, если вам известны величины гипотенузы и другого катета. Это выражение получается из теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы треугольника сумме квадратов катетов. Оператор sqrt извлечение квадратного корня. Знак "^2" означает возведение во вторую степень.

Используйте формулу a=c*sinA, если вам известна гипотенуза (c) и угол, противолежащий искомому (этот угол мы обозначили, как A).
Выражение a=c*cosB используйте для нахождения катета, если вам известна гипотенуза (c) и угол, прилежащий искомому катету (этот угол мы обозначили как B).
Вычислите катет по a=b*tgA в случае, задан катет b и угол, противолежащий искомому катету (этот угол мы условились обозначать A).

Обратите внимание:
Если же в вашей задаче катет не находится ни одним из описанных способов, скорее всего, её можно свести к какому-то из них.

Полезные советы:
Все эти выражения получаются из общеизвестных определений тригонометрических функций, поэтому, даже если вы забыли какое-то из них, вы всегда сможете путём несложных операций его быстро вывести. Также, полезно знать значения тригонометрических функций для наиболее типичных углов 30, 45, 60, 90, 180 градусов.

Видео по теме

Источники:

• «Пособие по математике для поступающих в вузы», под ред. Г.Н. Яковлева, 1982
• катет прямоугольного треугольника

Квадратный треугольник более точно называется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры подробно рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.

Вам понадобится

• - лист бумаги;
• - ручка;
• - таблицы Брадиса;
• - калькулятор.

Инструкция

Найдите треугольника с помощью теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2+b2 , где с – гипотенуза треугольника , a и b – его катеты. Чтобы применить это , нужно знать длину любых двух сторон прямоугольного треугольника .

Если по условиям заданы размеры катетов, отыщите длину гипотенузы. Для этого с помощью извлеките квадратный корень из суммы катетов, каждый из которых предварительно возведите в квадрат.

Вычислите длину одного из катетов, если известны размеры гипотенузы и другого катета. При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы и известного катета, также возведенного в квадрат.

Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса. В них приведены значения тригонометрических функций для большого числа углов. Воспользуйтесь калькулятором с функциями синуса и косинуса, а также теоремами тригонометрии, которые описывают соотношения между сторонами и прямоугольного треугольника .

Найдите катеты при помощи основных тригонометрических функций: a = c*sin α, b = c*cos α, где а – катет, противолежащий к углу α, b – катет, прилежащий к углу α. Подобным образом посчитайте размер сторон треугольника , если заданы гипотенуза и другой острый угол: b = c*sin β, a = c*cos β, где b – катет, противолежащий к углу β, а – катет, прилежащий к углу β.

В случае, a и прилежащий к нему острый угол β, не забывайте, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов всегда равна 90°: α + β = 90°. Отыщите значение угла, противолежащего к катету а: α = 90° – β. Или воспользуйтесь тригонометрическими формулами приведения: sin α = sin (90° – β) = cos β; tg α = tg (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

Видео по теме

Источники:

• Как найти стороны прямоугольного треугольника по катету и острому углу в 2019

Совет 3: Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник, вероятно, - одна из самых известных, с исторической точки зрения, геометрических фигур. Пифагоровым "штанам" конкуренцию может составить лишь "Эврика!" Архимеда.

Вам понадобится

• - чертеж треугольника;
• - линейка;
• - транспортир.

Инструкция

Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол (прямой) всегда будет 90 градусов, а остальные острыми, т.е. меньше 90 градусов каждый. Чтобы определить, какой угол в прямоугольном треугольнике является прямым, измерьте с помощью линейки стороны треугольника и определите наибольшую. Она гипотенуза (AB) и располагается напротив прямого угла (C). Остальные две стороны образуют прямой угол и катетами (AC, BC).

Когда определили, какой угол является острым, вы можете либо величину угла при помощи транспортира, либо рассчитать с помощью математических формул.

Чтобы определить величину угла с помощью транспортира, совместите его вершину (обозначим ее буквой А) с специальной отметкой на линейке в центре транспортира, катет АС должен совпадать с ее верхним краем. Отметьте на полукруглой части транспортира точку, через которую гипотенуза AB. Значение в этой точке соответствует величине угла в градусах. Если на транспортире указаны 2 величины, то для острого угла нужно выбирать меньшую, для тупого - большую.

Полученное значение найдите в справочных Брадиса и определите какому углу соответствует полученное числовое значение. Этим методом пользовались наши бабушки.

В наше достаточно взять с функцией вычисления тригонометрических формул. Например, встроенный калькулятор Windows. Запустите приложение "Калькулятор", в пункте меню "Вид" выберете пункт "Инженерный". Вычислите синус искомого угла, например, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

Переключите калькулятор в режим обратных функций, кликнув по кнопке INV на табло калькулятора, затем кликните по кнопке функции арксинуса (на табло обозначена, как sin в минус первой степени). В окошке расчета появится следующая надпись: asind (0.5) = 30. Т.е. значение искомого угла - 30 градусов.