Нахождение корней квадратного трехчлена. Квадратный трёхчлен и его корни

Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x 2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена a*x 2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x 2 +b*x+c обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x 2 +b*x+c=0.

Как найти корни квадратного трехчлена

Для решения можно использовать один из известных способов.

• 1 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b 2 -4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.

x = -b±√D / 2*a

Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.

Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.

• 2 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена x 2 +2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x 2 +2*x-3=0;

Преобразуем это уравнение:

В левой части уравнения стоит многочлен x 2 +2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x 2 +2*x+1) -1=3

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.

Тема урока : «Квадратный трехчлен и его корни».

Цель урока : познакомить обучающихся с понятием квадратного трехчлена и его корней, совершенствовать их умения и навыки в решении заданий на выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Урок включает четыре основных этапа :

Контроль знаний

Объяснение нового материала

Репродуктивное закрепление.

Тренировочное закрепление.

Рефлексия.

1 этап. Контроль знаний.

Учитель проводит математический диктант «под копирку» по материалу предыдущего цикла. Для диктанта используется карточки двух цветов: синего - для 1 варианта, красного –2 варианта.

Из данных аналитических моделей функций выберите только квадратичные.

Вариант 1. у=ах+4, у=45-4х, у=х²+4х-5, у=х³+х²-1.

Вариант 2. у=8х-в, у=13+2х, у= -х²+4х, у=-х³+4х²-1.

Изобразите схематично квадратичные функции. Можно ли однозначно определить положение квадратичной функции на координатной плоскости. Ответ попытайтесь аргументировать.

Решите квадратные уравнения.

Вариант 1. а) х² +11х-12=0

Б) х² +11х =0

Вариант 2. а) х² -9х+20=0

Б) х² -9 х =0

4. Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни.

Вариант 1. А) х² + х +12=0

Вариант 2. А) х² + х - 12=0

Полученные ответы учитель проверяет у первых двух пар. Полученные неправильные ответы обсуждаются всем классом.

Вариант 1.	Вариант 2.
1. у=х²+4х-5	1. у= -х²+4х
2. ветви вверх, но однозначно определить положение нельзя не хватает данных.	ветви вниз, но однозначно определить положение нельзя не хватает данных.
3. а) –12; 1 б) –11;0	3. а) 4;5 б) 9;0
	4. Д0, есть два корня

2 этап. Давайте составим кластер. Какие ассоциации у вас возникают при рассмотрении квадратного трехчлена?

Составление кластера.

Возможные ответы:

квадратный трехчлен используют для рассмотрения кв. функции;

можно найти нули кв. функции

по значению дискриминанта оценить количество корней.

Описать реальные процессы и т.д.

Объяснение нового материала.

Параграф 2. п.3 стр.19-22.

Рассматриваются выражения, и дается определение квадратного трехчлена и корня многочлена (в ходе обсуждения ранее рассмотренных выражений)

Формулируется определение корня многочлена.

Формулируется определение квадратного трехчлена.

Разбираются примеры решения трехчлена:

Найти корни квадратного трехчлена.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

3х²-36х+140=0.

Составляется схема ориентировочной основы действия.

Алгоритм выделения двучлена из квадратного трехчлена.

1.Опрелелить числовое значение старшего коэффициента квадратного трехчлена.

2. Выполнить тождественные и 2. Преобразовать выражение,

равносильные преобразования использовав формулы

(вынести общий множитель за скобки; квадрата суммы и разности.

преобразовать выражение, в скобках

достроив его до формулы квадрата суммы

или разности)

а²+2ав+в²= (а+в)² а²-2ав+в²= (а-в)²

3 этап. Решение типовых заданий из учебника (№ 60 а,в; 61 а, 64 а,в) Делаются у доски и комментируются.

4 этап. Самостоятельная работа на 2варианта (№ 60а,б; 65 а,б). Учащиеся сверяются с образцами решения на доске.

Домашнее задание: П.3 (теорию выучить, № 56, 61г, 64 г)

Рефлексия. Учитель дает задание: оценить свои успехи на каждом этапе урока с помощью рисунка и сдать учителю. (задание выполняется на отдельных листах, образец выдается).

Образец:

Используя, порядок расположения элементов на рисунке, определите на каком этапе урока ваше незнание преобладало. Выделите этот этап красным цветом.

Презентация к уроку математики в 9 классе по теме "Квадратный трехчлен и его корни" с содержанием заданий углубленного уровня изучения предмета. Презентация расчитана на продолжительное использование в течение всего урока. Задания разного рода по содержанию.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Пункт плана Пункт плана Пункт плана Пункт плана Пункт плана Актуализация знаний Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минутка Домашнее задание Квадратный трехчлен и его корни подготовила учитель математики: 1КК Радченко Наталья Федоровна

Актуализация знаний Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание Актуализация знаний ◊ 1 Повторение материала о функциях; ◊ 2 Теоретические основы решения квадратного уравнения; ◊ 3 Теорема Виета; ◊ 4 Итог.

Актуализация знаний Повторение материала: среди данных функций укажите линейные убывающие функции: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g= -3

Актуализация знаний Чем определяется наличие и количество корней квадратного уравнения? Как вычислить дискриминант квадратного уравнения D = 2. Назовите формулы корней квадратного уравнения D>0 , то х 1,2 = D = 0 , то х =

Актуализация знаний t² - 2t – 3 = 0 3. Вычислите дискриминант и ответьте на вопрос «Сколько корней имеет квадратное уравнение»? D= 16 >0 , два корня Чему равно произведение корней? Х 1  х 2 = - 3 5. Чему равна сумма корней уравнения? Х 1 + х 2 = 2 6. Что можно сказать о знаках корней? Корни разных знаков 7. Найдите корни подбором. Х 1 = 3, х 2 = -1

Изучение темы урока ◊ 1 Сообщение темы урока; ◊ 2 Теоретические основы понятия «Квадратный трехчлен и его корни»; ◊ 3 Высказывания великих мыслителей о математике; ◊ 4 Разбор примеров тематики; Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание

Квадратный трехчлен и его корни Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax² + bx + c , где x- переменная, a, b и c - некоторые числа, причем, a≠ 0 . Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax² + bx + c , необходимо решить квадратное уравнение ax² + bx + c =0

Квадратный трехчлен и его корни Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Р.Декарт Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э. Кольман

Энциклопедическая справка ◊ 1 Понятие «параметр»; ◊ 2 Значение слова «параметр» словарях русского языка и словаре иностранных слов; ◊ 3 Обозначение и широта применения параметра; ◊ 4 Примеры с параметрами. Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание

Энциклопедическая справка ПАРАМЕТР (от греч. παραμετρέω - меряю, c опоставляя). Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи…, (мат.) Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи… «Словарь иностранных слов». 3. При каком значении параметра m квадратный трехчлен 2х ² + 2тх – т – 0,5 имеет единственный корень? Найдите этот корень.

Динамическая пауза ◊ 1 Решение «проблемной задачи»; ◊ 2 Историческая справка: письмо из прошлого; Динамическая минутка Домашнее задание

Динамическая пауза При каком значении параметра т квадратный трехчлен 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 и меет единственный корень? Найдите этот корень. Квадратное уравнение имеет один корень D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Подставим найденное значение m в исходное уравнение: 2х ² - 2х + 1 – 0,5 = 0 4х ² - 4х + 1 = 0 (2х – 1) ² =0 2х -1 =0 х = 0,5

Динамическая пауза В домашнем задании ученикам 8 класса было предложено найти корни квадратного трехчлена (х ² - 5х +7) ² - 2(х ² - 5х +7) - 3 Подумав, Витя рассудил так: сначала нужно раскрыть скобки, потом привести подобные слагаемые. Но Степа сказал, что есть более простой способ решения и раскрывать скобки вовсе необязательно. Помогите Вите найти рациональный путь решения

Динамическая пауза Задачи на нахождение корней квадратного трехчлена и составление квадратных уравнений встречаются уже в древнеегипетских математических папирусах. Общее правило нахождения корней и решения уравнений вида: ax ² + bx = c, где a > 0, b и c – любые, сформулировал Брахмагупта (VII в. н. э.). Брахмагупта еще не знал, что квадратное уравнение может иметь и отрицательный корень. Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал, соотношения между коэффициентами уравнения. Составил много задач.

Обобщение, домашнее задание ◊ 1 Решение упражнений с параметром: различные типы заданий; ◊ 2 Итог по изучаемой теме; ◊ 3 Домашнее задание: по уровням. Домашнее задание

Обобщение, домашнее задание Найдите корни квадратного трехчлена (x-4)² +(4y-12)² . Найдите значения параметра a , при каждом из которых квадратный трехчлен x²+ 4 x + 2ax+8a+1 имеет одно решение. Задание на дом: п.3; 1 группа: №45 (в, г), №49(в, г); 2 группа: a) найдите значение параметра а, при котором квадратный трехчлен x²-6x+2ax+4a не имеет решения; b) найдите корни квадратного трехчлена (2x-6)²+(3y-12)²

источник шаблона Чернакова Наталия Владимировна Преподаватель химии и биологии ГОУ НПО Архангельской области «Профессиональное училище №31» «http://pedsovet.su/»

Описание видеоурока

Каждое из выражений три икс пятой степени минус икс четвертой степени плюс три икс куб минус шесть икс плюс два; пять игрек четвертой степени минус игрек куб плюс пять игрек квадрат минус три игрек плюс восемнадцать; три зет шестой степени минус зет четвертой степени плюс зет квадрат минус зет плюс два является многочленом с одной переменной.

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена.

Найдем, например, корни многочлена икс куб минус четыре икс. Для этого решим уравнение икс куб минус четыре икс равно нулю. Разложив левую часть уравнения на множители, получим произведение из трех множителей: икс, икс минус два и икс плюс два, равное нулю. Отсюда икс первое равно нулю, икс второе равно два, икс третье равно минус два.

Таким образом, числа нуль, два и минус два - являются корнями многочлена икс куб минус четыре икс…

Многочлен второй степени с одной переменной называют квадратным трехчленом.

Квадратным трехчленом называется многочлен вида а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, где икс -переменная, ..а, бэ и цэ -некоторые числа, причем а не равно нулю.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, цэ - свободным членом квадратного трехчлена.

Примерами квадратных трехчленов являются многочлены два икс квадрат минус икс минус пять; икс квадрат плюс семь икс минус восемь. В первом из них а равно два, бэ равно минус один, цэ равно минус пять, во втором а равно один, бэ равно семь, цэ равно минус восемь. К квадратным трехчленам относятся также и такие многочлены второй степени, у которых один из коэффициентов бэ либо цэ или даже оба равны нулю. Так, многочлен пять икс квадрат минус два икс считают квадратным трехчленом. Коэффициент а равен пяти, бэ равно минус двум, цэ равно нулю.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, нужно решить квадратное уравнение а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю.

Пример первый. Найдем корни квадратного трехчлена икс квадрат минус три икс минус четыре.

Для этого приравняем данное выражение к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант в нем равен двадцати пяти, первый корень равен четырем, второй корень равен минус одному.

Таким образом, квадратный трехчлен икс квадрат минус три икс минус четыре имеет два корня: четыре и минус один.

Так как квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ имеет те же корни, что и уравнение а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, то он может, как и квадратное уравнение иметь два корня, один корень или не иметь корней вообще. Это зависит от значения дискриминанта квадратного уравнения, который также называют дискриминантом квадратного трехчлена.. Если дискриминант больше нуля, то квадратный трехчлен имеет два корня; если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен имеет один корень; если дискриминант меньше нуля, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда бывает удобно представить квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ в виде суммы а умноженного на квадрат разности а и эм…и числа эн, где эм и эн - некоторые числа. Такое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Покажем на примере, как выполняется такое преобразование.

Второй пример. Выделить из трехчлена два икс квадрат минус четыре икс плюс шесть… квадрат двучлена.

Вынесем за скобки множитель два,.. затем преобразуем выражение в скобках, для чего прибавим и отнимем единицу… В итоге получим сумму удвоенного квадрата разности чисел икс и один… И числа четыре.

Таким образом, два икс квадрат минус четыре икс плюс шесть равно сумме удвоенного квадрата разности чисел икс и один.. И числа четыре…

Рассмотрим задачу, при решении которой используется выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Задача. Докажем, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть одна сторона прямоугольника равна икс сантиметров. Тогда длина второй будет десять минус икс сантиметров, а площадь прямоугольника равна произведению этих сторон.

Раскрыв скобки в выражении икс умноженное на разность десять и икс, получим десять икс минус икс квадрат. Выражение минус икс квадрат плюс десять икс представляет собой квадратный трехчлен, в котором коэффициент А равен минус один, бэ равно десяти, цэ равно нулю. Выделим квадрат двучлена и получим выражение минус квадрат разности икс и пять.. плюс двадцать пять.

Так как выражение минус квадрат разности икс и пять при любом икс не равном пяти отрицательно, то и всё выражение минус квадрат разности икс и пять… плюс двадцать пять принимает наибольшее значение при икс равном пяти.

Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае другая сторона также равна 5 см. Это означает, что данный прямоугольник является квадратом.