Составление системы уравнений. Решение задач на пропорциональное деление

В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционально. Поэтому к задачам на пропорциональное деление приступают после ознакомления с задачами на нахождение четвертого пропорционального.

К задачам на пропорциональное деление относятся следующие:

а). задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

б). Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

в). задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

Остановимся на рассмотрении задач первого типа.

"За два куска одинаковой ткани в 5 м и 7 м заплатили 36 рублей.. Сколько стоит каждый кусок ткани?"

Составим таблицу:

Устанавливая зависимость между данными и искомыми, обращаем внимание на то, что если ткань одна и та же, то ее цена одинакова и поэтому, чем больше метров в куске такой ткани, тем он дороже. Следовательно, второй кусок дороже первого. Однако сразу найти стоимость какого-либо куска ткани нельзя, так как не указана цена.

Чтобы узнать цену, нужно знать общую стоимость всей ткани - в условиях она указана – и общее число метров ткани в двух кусках. Это число можно найти, так как известны размеры первого и второго кусков. На основе этого анализа составляем план решения:

Найдем число метров ткани в двух кусках.

Узнаем цену 1 м ткани.

Вычислим стоимость первого куска ткани.

Вычислим стоимость второго куска ткани.

1). 5+7=12 (м) 2).36:12=3 (руб.) 3).3*5= 15 (руб.) 4).3*7=21 (руб.)

12 м ткани стоят 36 руб. 3 руб. стоит 1 м ткани 15 руб. стоит первый кусок ткани. 21 руб. стоит второй кусок ткани

Проверка решения задачи: 15+21 = 36. Стоимость всей ткани, полученная при решении, совпадает с числом, данным в условии.

Для проверки решения такой задачи можно использовать составление и решение обратной задачи. Следует иметь в виду, что обратная задача должна быть также задачей на пропорциональное деление.

§ 3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям.

По степени сложности задачи на нахождение чисел по двум разностям относятся в разряд, следующий за задачами на пропорциональное деление. При решении задач указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например разности в числе предметов и разности их стоимостей. Например:

“Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше мальчика. Сколько заплатила за бумагу девочка и сколько мальчик?”

Краткий анализ условия и вопроса задачи позволит записать ее в виде таблицы:

Решая эту задачу, можно пойти по такому пути:

1) узнать, на сколько листов бумаги девочка купила больше, чем мальчик (11-7=4);

2). узнать цену листа бумаги (12:4=3);

3). найти, сколько заплатил за 7 листов мальчик (3*7=21);

4). сколько заплатила за 11 листов девочка (3*11=33).

При проверке узнают, на сколько копеек девочка заплатила больше, чем мальчик: 33-21=12, что совпадает с данным из условия.

Или составляют задачу, обратную данной. Обратная задача должна быть задачей того же типа.

{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ

4 КЛАСС

Задачи на пропорциональное деление получили свое название по способу их решения. Чтобы дать ответ на вопрос задачи необходимо составить некоторую пропорцию и рассчитать как соотносятся между собой искомые величины.

Рассмотрим решение задачи на пропорциональное деление на примере:

Задача: Двое рабочих заработали 9000 рублей. Один работал 2 недели, а другой 8 недель. Сколько денег заработал каждый?

Решение: Исходя из условия задачи, можно найти как оплачивается одна неделя такой работы:

9000 ÷ (8 + 2) = 900 рублей за неделю.

900 · 2 = 1800 рублей - один рабочий;

900 · 8 = 7200 рублей - другой рабочий.

Ответ: 1800 и 7200.

Примеры задач на пропорциональное деление:

1) Двое рабочих получили 8000 рублей. Как они разделят свой заработок, если один работал 6 недель, а другой 4 недели?

2) 25 м проволоки весят 700 г. Взяли два мотка проволоки. В одном мотке 30 м проволоки, а в другом на 15 м больше. Сколько весит каждый моток?

3) Для приготовления торфоперегнойных горшков берут на 7 частей земли 2 части торфа. Сколько нужно взять земли на 200 кг торфа?

4) Две школы выписали на 960 рублей клубничной рассады. Одна школа взяла 3 ящика, а другая 5 ящиков. Сколько должна заплатить каждая школа за рассаду клубники?

5) Два грузовика перевезли 77 т груза, сделав одинаковое число рейсов. Сколько тонн груза перевёз каждый грузовик, если один грузовик перевозил за рейс 3 т, а другой - 4 т?

6) Двое рабочих выписали из питомника 26 яблонь. Как они должны разделить яблони, если один дал на покупку 500 рублей, а другой 800 рублей?

7) Сколько граммов резинового клея получится из 50 г каучука, если для приготовления клея берут на одну часть каучука 9 частей очищенного бензина?

8) Двое рабочих заработали 8400 рублей. Первый работал 5 недель, а второй 7 недель. Сколько денег заработал каждый рабочий?

9) Две бригады работали одинаковое время и заработали вместе 810 рублей. Как они должны разделить этот заработок, если в одной бригаде было 4 человека, а в другой 5?

10) Клуб купил одинаковое число лыж и коньков. Пара коньков стоит 6 долларов, а пара лыж 9 долларов. Сколько стоят отдельно коньки и лыжи, если за всю покупку заплатили 900 долларов?

11) Для приготовления жидкого столярного клея берут 15 частей плиточного клея и 17 частей воды. Сколько нужно взять плиточного клея для изготовления 640 г жидкого столярного клея?

12) На 118 рублей купили одинаковое число пальто для мальчиков и девочек. Сколько куплено тех и других, если каждое пальто для мальчиков стоило 31 марку, а для девочек 28 марок?

13) Колхоз привёз одинаковое количество ящиков яблок и груш. Каждый ящик груш весил 50 кг, а ящик яблок 40 кг. Все фрукты вместе весили 810 кг. Сколько килограммов тех и других фруктов отдельно привезли?

14) В двух кусках 24 м сукна. Один кусок стоит 240 долларов, а другой 480 долларов. Сколько метров сукна в каждом куске?

15) "Москвич" на 100 км пути расходует 9 л бензина, "Волга" - 13 л. Обеим машинам отпущено 66 л бензина на 300 км пути. Сколько литров бензина отпущено каждой машине?

{module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}

Пропорциональное деление

деление какой-либо величины в данном отношении. Если данная величина есть a , a отношение есть n , то надо разделить a на две части x и (а-х ) так, чтобы отношение x к (a-x ) равнялось бы n. Выразив это уравнением и решив его относительно x , получим:

x = an /(1 + n ).

К числу вопросов о пропорциональном делении относятся две известные геометрические задачи: найти длину x , среднепропорциональную двум данным длинам a и b ; разделить данную длину в крайнем и среднем отношении. Построения, с помощью которых получаются решения этих и подобных задач, приводятся в начальных учебниках геометрии.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Пропорциональное деление" в других словарях:

Правило товарищества, арифметич. способ деления числа на части, пропорциональные данным числам; находит частое применение при делении прибыли между товарищами пропорционально (соответственно) внесенным ими в предприятие капиталам или… …

- (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, пропорциональная, пропорциональное; пропорционален, пропорциональна, пропорционально (лат. proporcionalis соразмерный) (книжн.). 1. Обладающий соразмерностью частей. Пропорциональное телосложение. 2. Такой, который с увеличением … Толковый словарь Ушакова

История науки … Википедия

Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

Петров (Иван) русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 году в крестьянской крепостной семье в Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В… … Биографический словарь

Русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 г. в крестьянской крепостной семье, Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В возрасте 11 лет… …

Феноменальный счетчик, родился в 1823 году в дер. Рагозино Кологривского у. Костромской губ.; родители его были крепостными крестьянами помещицы Волтатис. Несмотря на свою неграмотность, П. еще в самом раннем возрасте поражал своими способностями … Большая биографическая энциклопедия

Книги

• Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные , Киселев, Андрей Петрович. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
• Арифметика , Киселев А.. Целые числа. О делимости чисел. Измерения величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины. Вниманиючитателей…
• Арифметика. Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины , Киселев А.П.. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…

1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.

2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.

Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.

2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.

3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:

4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.

Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно

Решение: х кг – масса одной части

Сережа – х кг, Наташа – 4х кг, Коля – 3х кг

х + 4х + 3х = 2,4

х = 0,3

Сережа – 0,3 кг, Наташа – 1,2 кг, Коля – 0,9 кг

Решение: пусть х

Тогда масса воды – 4х кг, масса ягод – 3х кг, сахара – 2х кг.

4х + 3х + 2х = 13,5

9х = 13,5

х = 1,5

Масса воды – 6 кг, масса ягод – 4,5 кг, сахара – 3 кг.

Решение: 1 способ. Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда длина первого отрезка 2х м, длина второго - 3х м.

2х + 3х = 1

х = 0,2

длины отрезков 0,4 м и 0,6 м

2 способ. Найдем длину одной части 2+3=5 частей

1:5=0,2 м – длина одной части

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

88=16+24+48

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

8х = 112

х = 14 – коэффициент пропорциональности

первое число – 42, второе – 70

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

Первое число -
, второе - .

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

Третье число -
, второе число -
.

Пусть у – коэффициент пропорциональности.

Первое число - .

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.

Тогда собственная скорость парохода – 36х км/ч, скорость течения - 5х км/ч, скорость против течения - 31х км/ч, скорость по течению - 41х км/ч.

Скорость по течению относится к скорости против течения, как 41:31.

Скорость

Время

5 ч 10 мин = ч

х ч

Обратная пропорциональность

- время на обратный путь

х, у, z так, чтобы х:у=3:4, у: z =4:5.

Решение: х:у: z =3:4:5

Всего 3+4+5=12 частей

144:12=12 – одна часть

х=36, у=48, z =60.

х, у, z так, чтобы х:у=3:2, у: z =5:3.

Решение:

Всего 15+10+6=31 часть

310:31=10 – одна часть

х=150, у=100, z= 60.

Решение: пусть х, у, z – данные числа.

10x=15y, 15y=5z

Всего 3+2+6=11 частей

Первое число -
, второе -
, третье -
.

т, 2т, т-3. т можно решить эту задачу?

Решение: всего т + 2т + т-3 = 4т – 3 частей

Найдем длину одной части:

Длина первой части -
км, длина второй части -
км, длина третьей части -
км.

Задача имеет решение при

Пропорциональное деление

Сережа собрал 2,4 кг клубники. Четыре части он отдал сестре Наташе, три части – брату Коле, а одну часть оставил себе. Сколько килограммов клубники получил каждый?

Для приготовления компота требуется вода, ягоды и сахар, массы которых должны быть пропорциональны числам 4, 3 и 2 соответственно. Сколько надо взять воды, ягод и сахара (по массе) для приготовления 13,5 кг компота?

Отрезок длиной 1 м разделили на две части, длины которых пропорциональны числам 2 и 3. Найдите длины этих отрезков.

Три числа относятся, как 3:5:8, третье число равно 112. Вычислите два первых числа.

Собственная скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36:5. Пароход двигался вниз по течению реки 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

Разделите число 144 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:4, у: z =4:5.

Разделите число 310 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:2, у: z =5:3.

Сумма трех чисел равна 90. Произведения первого числа на 10, второго числа на 15 и третьего числа на 5 равны между собой. Найдите эти числа.

От станции до поселка 4 км. Турист решил это расстояние разделить на три части, пропорциональные числам т, 2т, т-3. Найдите, сколько километров составляет каждая часть пути. При любом ли значении т можно решить эту задачу?