Параллелограмм признаки. Параллелограмм
Средний уровень
Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат (2019)
1. Параллелограмм
Сложное слово «параллелограмм »? А скрывается за ним очень простая фигура.
Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:
Пересекли ещё двумя:
И вот внутри - параллелограмм !
Какие же есть свойства у параллелограмма?
Свойства параллелограмма.
То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм ?
На этот вопрос отвечает следующая теорема:
Давай нарисуем все подробно.
Что означает первый пункт теоремы ? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно
Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм , то, опять же, непременно :
Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:
Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди - какой-нибудь «ключик» да подойдёт.
А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?
На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.
Признаки параллелограмма.
Внимание! Начинаем.
Паралелограмм.
Обрати внимание : если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
2. Прямоугольник
Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что
Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?
Конечно, является! Ведь у него и - помнишь, наш признак 3 ?
А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма и, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.
Свойство прямоугольника
Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.
Обрати внимание : чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.
3. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).
И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Свойства ромба
Посмотри на картинку:
Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.
Признаки ромба
И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:
Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Свойства четырехугольников. Параллелограмм
Свойства параллелограмма
Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.
Теорема о свойствах параллелограмма.
В любом параллелограмме:
Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Раз - параллелограмм, то:
- как накрест лежащие
- как накрест лежащие.
Значит, (по II признаку: и - общая.)
Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограмма
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
В значках это так:
Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:
Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.
Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.
А значит:
И тоже несложно. Но …по-другому!
Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!
Поэтому тот факт, что означает, что.
А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.
Видишь, как здорово?!
И опять просто:
Точно так же, и.
Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Для полной ясности посмотри на схему:
Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
Свойства прямоугольника:
Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()
А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что
А значит, по двум катетам (и - общий).
Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.
Доказали, что!
И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^
Давай поймём, почему?
Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.
Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!
Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .
Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!
Свойства четырехугольников. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).
И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Но есть и особенные свойства. Формулируем.
Свойства ромба
Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.
Почему? Да, потому же!
Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.
Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.
Признаки ромба.
А это почему? А посмотри,
Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.
Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.
Свойства четырехугольников. Квадрат
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны: , .
- Противоположные углы равны: , .
- Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны: .
- Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства ромба:
- Диагонали ромба перпендикулярны: .
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
- Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.
Средний уровень
Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат (2019)
1. Параллелограмм
Сложное слово «параллелограмм »? А скрывается за ним очень простая фигура.
Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:
Пересекли ещё двумя:
И вот внутри - параллелограмм !
Какие же есть свойства у параллелограмма?
Свойства параллелограмма.
То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм ?
На этот вопрос отвечает следующая теорема:
Давай нарисуем все подробно.
Что означает первый пункт теоремы ? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно
Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм , то, опять же, непременно :
Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:
Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди - какой-нибудь «ключик» да подойдёт.
А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?
На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.
Признаки параллелограмма.
Внимание! Начинаем.
Паралелограмм.
Обрати внимание : если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
2. Прямоугольник
Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что
Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?
Конечно, является! Ведь у него и - помнишь, наш признак 3 ?
А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма и, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.
Свойство прямоугольника
Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.
Обрати внимание : чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.
3. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).
И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Свойства ромба
Посмотри на картинку:
Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.
Признаки ромба
И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:
Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Свойства четырехугольников. Параллелограмм
Свойства параллелограмма
Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.
Теорема о свойствах параллелограмма.
В любом параллелограмме:
Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Раз - параллелограмм, то:
- как накрест лежащие
- как накрест лежащие.
Значит, (по II признаку: и - общая.)
Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограмма
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
В значках это так:
Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:
Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.
Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.
А значит:
И тоже несложно. Но …по-другому!
Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!
Поэтому тот факт, что означает, что.
А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.
Видишь, как здорово?!
И опять просто:
Точно так же, и.
Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Для полной ясности посмотри на схему:
Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
Свойства прямоугольника:
Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()
А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что
А значит, по двум катетам (и - общий).
Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.
Доказали, что!
И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^
Давай поймём, почему?
Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.
Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!
Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .
Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!
Свойства четырехугольников. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).
И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Но есть и особенные свойства. Формулируем.
Свойства ромба
Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.
Почему? Да, потому же!
Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.
Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.
Признаки ромба.
А это почему? А посмотри,
Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.
Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.
Свойства четырехугольников. Квадрат
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны: , .
- Противоположные углы равны: , .
- Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны: .
- Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства ромба:
- Диагонали ромба перпендикулярны: .
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
- Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.
1. Определение параллелограмма.
Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD;
ЕF || МN и ЕМ || FN.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD.
Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.
Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB.
Отсюда \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD.
Следствия:
1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.
∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ.
Аналогично и ∠С = ∠В.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.
AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.
Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
Пусть BC и AD - диагонали параллелограмма AВDС (рис. 226). Докажем, что АО = OD и СО = OB.
Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)СОD.
В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD;
∠3 = ∠4 по той же причине, так как AB || СD и СВ - их секущая.
Отсюда следует, что \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB.
Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180° .
В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.
Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Из равенства \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых.
Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .
Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.
Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).
И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .
Доказано!
2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Доказано!
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ.
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).
Доказано!
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?
\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .
Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .
По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .
Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).
Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .
И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .
При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.
Доказательство
BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .
Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .
Четвертый признак верен.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.