Постройте сечения тетраэдра. Презентация на тему "сечения тетраэдра"

, слайды 1-2)

научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;

научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;

освоить методы построения этих сечений

формировать познавательную активность, умения логически мыслить;

создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.

Тип урока: Формирование новых знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)

Слово учителя

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра . Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.

Актуализация опорных понятий

Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).

Второе правило . Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).

Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).

Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).

Пятое правило . Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A 1 и B 1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A 1 B 1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A 1 B 1 . Если же прямые АВ и A 1 B 1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).

III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)

Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)

Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.

Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:

Решение.

КМ = α ∩ АДС

МЕ = α ∩ ВДС

Х = КМ ∩ АС

Р = ХЕ ∩ АВ

РЕ = α ∩ АВС

КР = α ∩ АДВ

КМЕР – искомое сечение

Задача 2. (слайд 5)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД

Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М 1 , N→А. Находим пересечение прямых NM и AM 1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ 1 . Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.

Решение

М → М 1 N → А

Х = NМ ∩ АМ 1

L = КХ ∩ ВС

H = КХ ∩ АВ

НL = α ∩ АВC, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ ВДС, М є LQ

NQ = α ∩ АДС

HNQL – искомое сечение

IV. Закрепление знаний

Решение задачи с последующей проверкой

Задача 3. (слайд 6)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС, М є АДВ, N є ВДС.

Решение

1. М → М 1 , N → N 1

Х = NМ ∩ N 1 М 1

R = КХ ∩ АВ

RL = α ∩ АВД, М є RL

КР = α ∩ ВДС, N є КР

LP = α ∩ АДС

RLPK – искомое сечение

V. Самостоятельная работа (по вариантам)

(слайд 7)

Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД.

Решение

КМ = α ∩ АВД,

МN = α ∩ АВС,

КN = α ∩ АДС

KMN – искомое сечение

Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Решение

MN = α ∩ АВД

NK = α ∩ ВДС

Х = NК ∩ ВС

Р = АС ∩ МХ

РК = α ∩ АДС

MNKP – искомое сечение

Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

Решение

KN = α ∩ ДВС

Х = КN ∩ ВС

Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС

РТ = α ∩ АВС, М є РТ

PN = α ∩ АДС

ТР N K – искомое сечение

VI. Итог урока.

(слайд 8)

Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.

VII. Домашнее задание.

(слайд 9)

Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Вид урока:

Урок с применением ИКТ.

Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;

Раздаточный материал: карточки с заданиями.

Интерактивная доска;

Ноутбук;

Презентация, выполненная в программе PowerPoint;

Рисунки, выполненные в программе Paint;

Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Классная работа. Тема урока: Построение сечений тетраэдра. 29.10.

А В С Д ТЕТРАЭДР - ДАВС Тетраэдр « tetra »- четыре, « hedra »- грань.

Цель урока: Задачи урока: Формирование умения строить сечения тетраэдра с плоскостью, проходящей через три заданные точки. Обучающие: - ввести определение секущей плоскости и сечения тетраэдра плоскостью; - сформулировать алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости; - сформулировать алгоритм построения сечение тетраэдра плоскостью. Развивающие: - продолжить формирование пространственного воображения и математической речи; - развивать аналитическое мышление при выработке алгоритма построения точки пересечения прямой и плоскости и сечение многогранников. Воспитывающие: - вырабатывать умение осознанно трудиться над поставленной целью; - воспитание культуры общения.

Аксиомы и теоремы стереометрии. 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. 2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 5. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. А Б В Г Д

Задание: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью М NK .

2. Задание: Построить прямые, проходящие через точки M , N , K .

Сечение A B C D M N K

А В С D M N K α

A B C D M N K Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. MK – след плоскости MNK на плоскости ABC MN - … NK - …

Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . E F K L A B C D M 1. Проводим К F . 2. Проводим FE . 3. Продолжим EF , продол- жим AC . 5. Проводим MK . 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Правила 6. MK AB=L 4. EF AC = М

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2 . Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . 1 способ 2 способ

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Способ №1. Способ №2.

Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку.

А В С D N K M X P T Проверь себя Решение 1. KN = α ∩ ДВС Х = К N ∩ ВС Т = МХ ∩ АВ Р = ТХ ∩ АС РТ = α ∩ АВС, М є РТ PN = α ∩ АДС ТР N K - искомое сечение

Точка М является внутренней точкой грани ВС D тетраэдра DABC . Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВ D . С D А В М К L N

Задание Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку R параллельно грани BCD . 2. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку S параллельно грани ABC . 3. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку T параллельно грани ACD . 4. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку M, параллельно грани ВС D .

А D B C  S 2 . А D B C  R 1 . А D B C T  3 . 4.

Домашнее задание Изучить п.14 2. № 73 (стр. 29) 3. Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.

Предварительный просмотр:

МБОУ «Кимовская средняя общеобразовательная школа

Спасского муниципального района

Республики Татарстан»

Тема урока :

«Построение сечений тетраэдра»

10 класс

Разработала

Мамонова Евгения Геннадьевна,

Учитель математики первой квалификационной категории

Октябрь, 2013г.

Образовательные задачи:

обеспечить в ходе урока усвоение алгоритма решения задач на построение сечений тетраэдра.
обеспечить усвоение понятий тетраэдра, систематизировать знания, связанные с аксиомами стереометрии, определениями, свойствами, понятием взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.
формировать навыки изображения рассматриваемых объектов на плоскости и “чтение” предлагаемых изображений, графической грамотности;
формировать умения применять приемы сравнения, обобщения, умозаключения.

Развивающие задачи:

развитие умения применять полученные знания по стереометрии на практике,
формирование умения анализировать и обобщать знания в процессе решения задач на построение сечений тетраэдра.
уметь выполнять различные вычисления, связанные с определением площади сечения.

Воспитательные задачи:

воспитание осознанной потребности в знаниях,
совершенствование учебных умений и навыков,
воспитывать познавательный интерес к предмету через приобретение пространственного воображения и умения видеть красоту окружающего мира.

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Вид урока:

Урок с применением ИКТ.

Методы обучения:

Беседа;

Фронтальный опрос;

Иллюстративно-наглядный;

Практический;

Метод сравнения, обобщения.

Учебно-методическое оснащение:

Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;

Раздаточный материал: карточки с заданиями.

Материально-техническое оснащение:

Интерактивная доска;

Ноутбук;

Презентация, выполненная в программе PowerPoint;

Рисунки, выполненные в программе Paint;

Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Структура урока :

Орг. момент (1 мин).
Актуализация ранее приобретенных знаний (3 мин).
Подготовка к восприятию нового материала (3 мин).
Создание проблемной ситуации (3 мин).
Объяснение нового материала (10 мин).
Закрепление изученного материала (5 мин).
Самостоятельная работа с последующей проверкой (3 мин).
Практикум (5 мин).
Решение задачи (8 мин)
Это интересно (1 мин).
Постановка домашнего задания (1 мин).
Подведение итогов урока, рефлексия (2 мин).

Ход урока:

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Время
1.Орг. момент	Здравствуйте, ребята. Садитесь. " Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия". (Слайд №2) Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале ХХ века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет вам эта наука. Поэтому я предлагаю вам с еще большим усердием заняться изучением геометрии.	Приветствуют учителя. Садятся.	1 мин
2.Актуализация ранее приобретенных знаний	Устная работа. Вопросы: С каким многогранником мы познакомились на прошлом уроке? Дайте определение тетраэдра. (Слайд №3) Покажите элементы тетраэдра на модели. Тема сегодняшнего урока «Построение сечений тетраэдра» (Слайд №4). Запишите тему в тетрадях. Нам предстоит узнать какая плоскость называется секущей, способы и методы построения сечений, научиться строить сечения тетраэдра (Слайд №5). В течение урока вы будете работать с конспектами и строить сечения тетраэдра в них.	С тетраэдром. Поверхность, составленная из четырех треугольников, называется тетраэдром. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Одну из граней тетраэдра называют основанием, а три другие – боковыми гранями. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Записывают число и тему урока в тетради.	3 мин
3.Подготовка к восприятию нового материала	Для этого нам нужно вспомнить несколько аксиом и теорем. Задание: Соотнести чертеж с формулировкой теоремы или аксиомы. (Слайд 6)	Формулируют аксиомы и теоремы, соотносят их с рисунками. Ответ: Д-1 В-2 Б-3 А-4 Г-5	3 мин
4. Создание проблемной ситуации.	1. Задание: (Слайд 7) Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью МNK. Вопросы: Какой плоскости принадлежит прямая АВ? Постройте ее. Каким плоскостям принадлежит прямая MN? Продолжите ее. Вы получили точку пересечения прямых АВ и MN. Обозначьте ее. Какой плоскости принадлежит эта точка? Сделайте вывод. 2. Задание: (Слайд 8) Построить прямые, проходящие через точки M, N, K. Какая фигура получается при пересечении прямых? Какой особенностью обладает данный треугольник?	Записывают задание в тетрадь : Отвечают на вопросы: АВ є MDN. MN = MDN ∩ MКN. Р = MN ∩ АВ Р є MКN Р = АВ ∩ МNK. Строят прямые MK, KN, MN. Аргументируют свой ответ. При пересечении прямых получается треугольник MNK. Треугольник делит тетраэдр на две части. Каждая сторона треугольника принадлежит грани многогранника.	3 мин
5. Объяснение нового материала.	Итак, мы с вами построили сечение тетраэдра. Треугольник, образованный прямыми MK, MN, KN, называется сечением (Слайд 9 ), а плоскость MKN – секущей. (Слайд 10) Каковы особенности секущей плоскости? (Слайд 9,10) Основные понятия (Слайд 11 ) При построении сечения мы использовали метод следов. (Слайд 12) Сейчас вы вспомните, как мы построили сечение и сформулируете алгоритм построения сечений методом следов. Проверим алгоритмы. Какие многоугольники могут получить в сечении тетраэдра? (Слайд 13) Решение задачи. (Слайд 14) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через сторону основания тетраэдра и данную точку на противолежащем ребре. Построение сечения, проходящего через точки E, F, K. (Слайд 15, 16) Как расположены точки E, F, K. Какие прямые можно построить? Для построения сечения нам нужна дополнительная точка. EF ∩ AC =М. Проводим МК. MK ∩ AB = L. Проводим EL. EFKL – искомое сечение.	1.Это плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. 2.Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Читают определение следа. Продолжают фразы. Алгоритм. 1.Отыскать в одной грани две точки сечения. 2.Построить след сечения на плоскости тетраэдра. 3.Повторить п.1-2 еще 2 раза. 4.Заштриховать полученное сечение. Конспектируют Треугольники и четырехугольники. E, F є ADC, F, K є BDC. Можно построить прямые КF, FЕ.	10 мин
6. Закрепление изученного материала.	Построение сечений на интерактивной доске. Два способа. (Слайд 17) Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. (Слайд 18) Каким условием мы должны дополнить наш алгоритм, чтобы построить сечение методом следов. Подумайте и допишите алгоритм. Проверим. Задание: Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку. (Слайд 19)	Строят сечения тетраэдра двумя способами. Найти дополнительную точку сечения на ребре тетраэдра Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую Отметить точки пересечения прямой с ребрами грани. Ошибки: 1.Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам (в грани АВК такого отрезка нет, а в грани ВКС – таких отрезков 2) 2. Сечением тетраэдра не могут быть пятиугольники.	5 мин
7.Самостоятельная работа с последующей проверкой	(Слайд 20)	Выполняют самостоятельную работу (-Если возникнут проблемы, можете посоветоваться с товарищем по парте)	3 мин
8.Практикум	Еще один метод, применяемый при построении сечений – это метод параллельных прямых. Задание: (Слайд 21 ) Точка М является внутренней точкой грани ВСД тетраэдра ДАВС. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВД. Вспомните название метода и предложите способ построения сечения. Решение. Т.к. секущая плоскость параллельна плоскости АВД, то она параллельна прямым АД, АВ, ДВ. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника АВД. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку ВД, и обозначим буквами L и N точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами ДВ и ДС. Затем через точку L проведем прямую, параллельную отрезку АС, и обозначим буквой К точку пересечения этой прямой с ребром АС. Треугольник LKN – искомое сечение. Задание . Построить сечение на интерактивной доске Задание: (Слайд 22) Построить сечения. Сверим ответы (Слайд 23)		5 мин
9 Решение задачи	Приложение 1		8 мин
10.Это интересно	Сечение в рисунке, при моделировании одежды, в жизни. (Слайды 24-26)		1 мин
11.Постановка домашнего задания	Изучить п.14, №73 (стр. 29) (Слайд 27) Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.		1 мин
12. Рефлексия, итог урока	О каком многограннике шла речь сегодня на уроке? Какие задачи мы научились сегодня решать? (задачи на построение сечений) Какие действия должен уметь выполнять ученик для построения сечений многогранников? (находить точки пересечения прямой и плоскости; строить линию пересечения двух плоскостей) (Слайд 29)		2 мин

Слайд 2

Информация для учителя. Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы построения точки пересечения прямой и плоскости, прямой пересечения плоскостей и сечений тетраэдра. Учитель может использовать презентацию при проведении уроков по этой теме, или рекомендовать её для самостоятельного изучения учащимся, пропустившим по какой-то причине её изучение, или для повторения ими отдельных вопросов. Ученики сопровождают изучение презентации заполнением краткого конспекта.

Слайд 3

Информация для ученика. Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы решения задач на построение в пространстве. Постарайтесь внимательно и, не спеша, изучать комментарии на выносках и сопоставлять их с рисунком. Заполняйте в кратком конспекте все пропуски. При самостоятельном решении задач необходимо вначале самому продумать решение, а затем просмотреть предложенное автором. Запишите вопросы к учителю и задайте их на уроке.

Слайд 4

I.Прямая а пересекает плоскость α. Построить точку пересечения.

α β P m а Ответ: I.Чтобы построить точку пересечения прямой а и плоскости αнужно: 1)провести(найти)плоскость β, проходящую через прямую а и пересекающую плоскость α по прямой т 2) построить точку Р пересечения прямых а и m. Через прямую а проведём плоскость β, пересекающую плоскость αпо прямой т Пересечём прямую а с линией пересечения плоскостей α и β: прямой т. Точка Р общая точка прямой а и плоскости α, т.к. прямая т лежит в плоскости α. Запишите алгоритм в краткий конспект.

Слайд 5

1)Построить точку пересечения прямой МN и плоскости BDC.

D B A C M N P {М, N} (АВС) Ответ: Через прямую МN проходит плоскость АВС, пересекающая плоскость BDC по прямой ВС. Прямая МN пересекается с прямой ВС в точке Р. Прямая ВС лежит в плоскости BDC, значит прямая МN пересекает плоскость BDC в точке Р.

Слайд 6

2)Построить точку пересечения прямой МN и плоскостиАBD.

D B A C M N P Ответ: Просмотреть решение Прямая MN принадлежит плоскостиВDC, которая пересекает плоскость AВD по прямой DB Пересечём прямые MN и DB. Далее

Слайд 7

II. Пусть прямая АВ не параллельна плоскости α. Построить линию пересечения плоскостей αи АВС, если точка С принадлежит плоскости α

B C A α β P m Построим точку пересечения прямой АВ с плоскостьюα. По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α. По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α. Значит прямая СР искомая прямая пересечения плоскостей АВС и α. II.Чтобы построить линию пересечения плоскости αи плоскости АВС (С α, {А, В} α, АВ || α),нужно: построить точку пересечения прямой АВ и плоскости α - точку Р; 2) точка Р и С общие точки плоскостей (АВС) и α, значит (АВС) α = СР Запишите алгоритм в краткий конспект.

Слайд 8

3).Построить прямую пересечения плоскостей МNP и АDB.

Построить отрезок пересечения плоскости МNP и грани АDB. M D B A C N P X Q R Ответ: Построим точку пересечения прямой МР с плоскостью ADB (точку Х). Прямая МР лежит в плоскости ADС, пересекающей плоскость ADВ по прямой AD. Прямая МР лежит в плоскости ADС, пересекающей плоскость ADВ по прямой AD. Точки Х и N общие точки плоскостей ADВ и MNP. Значит они пересекаются по прямой ХN. Запишите ход построения в краткий конспект.

Слайд 9

Сечение тетраэдра.

C D B A M N P α Многоугольник, составленный из отрезков, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника, называется сечением многогранника. Отрезки, из которых состоит сечение, называются следами секущей плоскости на гранях. ∆ MNP – сечение. Пусть плоскость пересекает тетраэдр, тогда она называется секущей плоскостью Плоскость пересекает рёбра тетраэдра в точках М,N,P, а грани - по отрезкам MN, MP, NP… Треугольник МNP называется сечением тетраэдра этой плоскостью… Запишите в краткий конспект.

Слайд 10

Сечение тетраэдра может быть так же четырёхугольником.

A C D B M N P Q α MNPQ – сечение.

Слайд 11

Алгоритм построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки M,N,P.

MNPQ – искомое сечение. D B A C M N P Q X Построить следы секущей плоскости в тех гранях, в которых есть 2 общие точки с ней. 3)Через построенные точки провести прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость выбранной грани АВС. 4) Отметить и обозначить точки, в которых эта прямая пересекает рёбра грани АВС и достроить остальные следы. 2) Выбрать грань, в которой ещё нет следа. Построить точки пересечения прямых, содержащих уже построенные следы, с плоскостью выбранной грани: АВС.

Слайд 12

Построить сечение тетраэдраплоскостью MNP.2 способ.

D B A C M N P Q X MNPQ – искомое сечение.

Слайд 13

№1. (Решите самостоятельно задачу). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Q D A C M N P X B X Просмотреть решение Второй способ: Далее

Слайд 14

№2. (Решите самостоятельно). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP, еслиР принадлежит грани АDC.

Слайд 15

№3. Построить сечение тетраэдраплоскостью α, параллельной ребру CD и проходящей через т. F, лежащую на плоскости DBC, и точку М.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Дано: α||DC, {M;F} α, F (BDC), M AD. Построить сечение тетраэдра DABC Т.к. α||DC, то (DBC) α=FP и FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Т. к. α||DC, то (DAC) α=MQ и MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP и NP α, значит DC||α, следовательно MNPQ – искомое сечение. Продолжите фразу: Если данная прямая а параллельна некоторой плоскости α, то любая плоскость, проходящая через эту прямую а и непараллельная плоскости α, пересекает плоскость α по прямой b,……………………………………… параллельной прямой а. Продолжите… α||DC, значит плоскость BDC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку F α||DC, значит плоскость ADC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку M

Слайд 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P №4. Построить сечение тетраэдраплоскостью α, параллельной грани BDC и проходящей через точку М. B A C M N D Дано: α||DBC, M α, M AD. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP – искомое сечение, т.к………. Продолжите фразу: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения……………………… параллельны. две пересекающиеся прямые MN и MP плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DB и DC плоскости (DBC), значит α||(DBC). α||DВC, значит плоскости ADВ и ADC пересекают плоскости α и (ВDС) по прямым MN и МР, параллельным DB и DС соответственно и проходящим через точку M.

Слайд 17

Далее М R B A C N №5.Решите самостоятельно и запишите ход решения. Построить сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через точку М и отрезок PN, если PN||AB и М принадлежит плоскости (АВС). Р Q D 1)NP||АВ NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ. RNPQ-искомое сечение. Просмотреть решение NP||(AВC), значит плоскость MNP пересекает плоскость AВС по прямой MQ, параллельной NP и проходящей через точку M.

Слайд 18

Не забудьте сформулировать вопросы учителю, если было что-то не понятно, а также свои рекомендации по совершенствованию этой презентации.

Слайд 19

При создании презентации были использованы учебники и пособия: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11. М. «Просвещение» 2008. 2.Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский Задачи по геометрии 7-11.М. «Просвещение» 2000

Посмотреть все слайды

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью .
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Содержание: 1. Цели и задачи. 2. Введение. 3. Понятие секущей плоскости. 4. Определение сечения. 5. Правила построения сечений. 6. Виды сечений тетраэдра. 7. Виды сечений параллелепипеда. 8. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 9. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 10. Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам. 11. Второй вариант решения предыдущей задачи. 12. Задача на построение сечения параллелепипеда. 13. Задача на построение сечения параллелепипеда. 14. Пожелание учащимся. Цель работы: Развитие пространственных представлений у учащихся. Задачи: Познакомить с правилами построения сечений. Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости. Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники». Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями. Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях. Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Треугольники Четырехугольники Параллелепипед имеет 6 граней Треугольники Пятиугольники В его сечениях могут получиться: Четырехугольники Шестиугольники Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K D M AA 1. Проведем прямую через точки М и К, т.к. они лежат в одной грани (АDC). N K BB C C 2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB). 3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN. 4. MNK – искомое сечение. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. 1. Проводим КF. 2. Проводим FE. 3. Продолжим EF, продолжим AC. D F 4. EF AC =М 5. Проводим MK. E M C 6. MK AB=L A L K Правила B 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. С какойпрямые точкой, лежащей в Какие можно Соедините получившиеся Какие сразу той жеточки граниможно можно продолжить, чтобы получить точки, лежащие в одной соединить? соединить полученную дополнительную точку? грани, назовите сечение. дополнительную точку? D иЕ АС ЕLFK FСЕК иточкой K, и FК F L C M A E K B Правила Второй способ Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. D F L C A E K B Правила Первый способ О Способ №1. Способ №2. Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N Правила В1 D1 С1 A1 P К В D А Е N С O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2.Продолжим 4. В1О MN,ВА 5. В1О ∩ А1А=К 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 8. MN ∩ BD=E 9. В1E 10. B1Е ∩ D1D=P , PN Параллелепипед и тетраэдр, сечения Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I Вариант II 1. Какую поверхность мы называем тетраэдром? параллелепипедом? 2. Что такое грани, ребра, вершины параллелепипеда? тетраэдра? 3. Сформулируйте свойство параллелепипеда о диагоналях. о гранях. Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I 4. Какие ребра тетраэдра называются противоположными? Вариант II 4. Какие грани параллелепипеда называются смежными? 5. Начертите изображение параллелепипеда. тетраэдра. Перечислите все элементы, укажите их количество. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M,A,D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, т.к. (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – сечение. Построение сечений тетраэдра Решим задачу D M B A C Решим задачу K M L A N Решим задачу D AC BD B A M C Решим задачу D M К АВС B A K N Какой другой вариант возможен? C Решим задачу D M B A K N C Решим задачу D M ABC K N ACD B N A M C Решим задачу D M ABC K N ACD N B A M C Домашнее задание повторить п. 1 – 14, подготовиться к зачету № 74, 75(б), 107, 79 Построение сечений параллелепипеда Решим задачу B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Решим задачу С1 B1 A1 D1 B A С D Решим задачу B1 A1 C1 D1 B A C D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1.Все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника. 2.Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. 3.В каждой грани лежит не более одной стороны сечения. 10 10 10 10 ВЫ МНОГОЕ УЗНАЛИ И МНОГОЕ УВИДЕЛИ! ТАК ВПЕРЕД, РЕБЯТА: ДЕРЗАЙТЕ И ТВОРИТЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.