Как брать определенные интегралы. Определённый интеграл и методы его вычисления. Изучаем понятие « интеграл»

В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.

Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол) , метод трапеций или метод прямоугольников . Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл точно.

В этой статье мы остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем подробное решение характерных примеров. Также на примерах разберемся с заменой переменной в определенном интеграле и с нахождением значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Навигация по странице.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива : .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления .

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .

Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где .

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке . Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a) , используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b) : , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .

Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид .

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Разберем на примере для ясности.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла .

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, следовательно, определенный интеграл существует.

Обозначим . При x=9 имеем , а при x=18 имеем , то есть, . Подставляем полученные результаты в формулу :

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции является функция , поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Можно было обойтись и без формулы .

Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл , то мы придем к результату .

Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определенный интеграл:

Как видите, результаты совпадают.

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

Функция является интегрируемой на отрезке в силу своей непрерывности.

Пусть u(x) = x , а , тогда , а . По формуле получаем

Этот пример можно решить и по-другому.

Находим множество первообразных функции интегрированием по частям и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

• вычисление площади фигуры.
• вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
• определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
• и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки . Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода . В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл . Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием , а нахождение первообразной – интегрированием .

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница :

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной .

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, . Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в .

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру

Примеры вычисления неопределённых интегралов

Вычисление интеграла по таблице

Интегрирование подстановкой:

Примеры вычисления интегралов

Основная формула Ньютона – Лейбница

Вычисления подстановкой

Глава 4 Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функции у и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференцированное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным , если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом ) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом ) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

1. Найти общее решение уравнения

o Разделив переменные имеем

Интегрируя обе части полученного уравнения:

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо C мы написали (1/2) lnC. Потенцируя последнее равенство получим

Это и есть общее решение данного уравнения.

Литература

В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование, «Популярные лекции по математике»,

Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1

В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1.

Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. - 1990. - Т. 1.

Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. - 1998. - Т. 1. - (Курс высшей математики и математической физики).

Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - 1990. - (Курс высшей математики и математической физики).

Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие-2-е изд.перераб. и доп. М.6Наука. 1989

Колягин Ю.М. Яковлев Г.Н. математика для техникумов. Алгебра и начала анализа 1 и 2 часть. Издательство «Наукка» М., 1981г.

Щипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. Высш. Шк. 1997г.

Богомолов Н.В практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. Высш. Шк 1997г.

Введите функцию, для которой надо найти интеграл

Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.

Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

Cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Арккосинус

X*arccos(x)

Применение логарифма

X*log(x, 10)

Натуральный логарифм

Экспонента

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Арккотангенс

X*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание
Другие функции: floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа