Нод примеры. Общий делитель и кратное. Что такое НОД

Делимое, которое делится на данный делитель без остатка, иначе называют кратным . Например, 48 кратно 8, число 48 - кратное, число 8 - делитель.

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называют общим кратным . Например, число 77 общее кратное чисел: 1, 7, 11, 77.

Ещё пример. Числу 3 кратны числа 12, 15 , 24, 27, 30 и т. д. Числу 5 кратны числа 10, 15 , 25, 30 , 35 и т. д. Числа 3 и 5 имеют общие кратные 15 и 30.

Найти общее кратное нескольких чисел довольно просто, можно просто перемножить данные числа, в результате, произведение этих чисел и будет их общим кратным.

НОК

Из всех общих кратных для данных чисел, особый интерес представляет наименьшее общее кратное.

Наименьшим общим кратным (сокращённо НОК) нескольких данных чисел называется самое маленькое число, которое делится нацело на каждое из данных чисел.

Например, для трёх чисел: 3, 5 и 12 наименьшим общим кратным является число 60, так как никакое другое число меньше 60 не делится нацело на 3, на 5 и на 12.

Обычно наименьшее общее кратное записывают так: НОК (a , b , ...) = x .

Согласно этому, запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 5 и 12:

НОК (3, 5, 12) = 60.

Калькулятор НОК

Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК.

Наибольший общий делитель – это еще один показатель, позволяющий упростить работу с дробями. Очень часто в результате вычислений получаются дроби с очень большими значениями числителя и знаменателя. Сокращать поэтапно такие числа можно, но это крайне долго, поэтому проще сразу найти НОД и сократить на него. Разберемся в теме подробнее.

Что такое НОД?

Наибольший общий делитель (НОД) ряда чисел – это наибольшее число, на которое можно без остатка разделить каждое из чисел ряда.

Как найти НОД?

Для того, чтобы найти НОД необходимо каждое из чисел разложить на простые множители и выделить общую часть.

Специальной формулы для этого не придумали, зато есть алгоритм вычисления.

Приведем пример нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел: 540 и 252. Разложим 640 на простые множители. Последовательность действий такова:

• Делим число на наименьший из возможных простых чисел. То есть, если число можно разделить на 2, 3 или 5, то сначала нужно делить на 5. Просто, чтобы не запутаться.
• Получившийся результат делим на наименьшее из возможных простых чисел.
• Повторяем деление каждого полученного результата, пока не получим простое число.

Теперь проведем ту же процедуру на практике.

• 540: 2=270
• 270:2=135
• 135: 3 =45
• 45: 3=15
• 15: 5 = 3

Запишем результат в виде равенства 540=2*2*3*3*3*5. Для того, чтобы записать результат, нужно последнее получившееся число умножить на все делители.

Аналогично поступим с числом 252:

• 252: 2=126
• 126: 2=63
• 63: 3=21
• 21: 3 = 7

Запишем результат: 252=2*2*3*3*7.

В каждом разложении есть одинаковые числа. Найдем их, это два числа 2 и два числа 3. Отличаются только 7 и 3*5.

Для того, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множетели. То есть в произведении будет две двойки и две тройки.

НОД=2*2*3*3=36

Как можно это использовать?

Задача: сократить дробь $$252\over540$$.

НОД для двух этих чисел мы уже находили, теперь просто воспользуемся уже посчитанным значением.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 36 и получим ответ.

$${252\over540} ={7\over15}$$ - чтобы быстро сократить, достаточно посмотреть на разложение чисел.

Если 540=2*2*3*3*3*5, а НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. И если мы поделим 540 на 36, то получим 3*5=15.

Без НОД нам пришлось бы в одну длинную строку писать сокращения. К тому же, бывают случаи, когда непонятно, можно ли сократить дробь вообще. Для таких ситуаций в математике и придумали разложение чисел на простые множители и НОД.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое наибольший общий делитель пары чисел, разобрались, как можно использовать показатель на практике, решили задачу на нахождение НОД и применение НОД для сокращения дробей. Поняли, что с использованием НОД можно проще и быстрее сократить громоздкие дроби, найдя НОД для числителя и знаменателя.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.3 . Всего получено оценок: 204.

Общим делителем нескольких чисел называют такое число, на которое делится каждое из данных чисел. Например, дано два числа: 6 и 9. Число 6 имеет делители 1, 2, 3, 6. Число 9 имеет делители 1, 3, 9. Мы видим, что числа 6 и 9 имеют общие делители 1 и 3.

Наибольшим общим делителем (сокращённо НОД) нескольких чисел, называют самый большой из общих делителей, на который каждое из данных чисел делится без остатка.

Таким образом, из всех общих делителей чисел 6 и 9, наибольшим общим делителем является число 3.

Обычно наибольший общий делитель записывают так: НОД (a , b , ...) = x .

Согласно этому, запишем наибольший общий делитель чисел 6 и 9:

НОД (6, 9) = 3.

Числа, НОД которых равен единице, называют взаимно простыми числами . Например, числа 14 и 15 являются взаимно простыми: НОД (14, 15) = 1.

Калькулятор НОД

Данный калькулятор поможет вам найти наибольший общий делитель чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОД.

Ключевые слова конспекта: Натуральные числа. Арифметические действия над натуральными числами. Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Наибольший общий делитель (НОД), а также наименьшее общее кратное (НОК). Деление с остатком.

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов - 1, 2, 3, 4 , … Но число 0 не является натуральным!

Множество натуральных чисел обозначают N . Запись «3 ∈ N» означает, что число три принадлежит множеству натуральных чисел, а запись «0 ∉ N» означает, что число нуль не принадлежит этому множеству.

Десятичная система счисления - позиционная система счисления по основанию 10 .

Арифметические действия над натуральными числами

Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Первые четыре действия являются арифметическими .

Пусть a, b и c - натуральные числа, тогда

1. СЛОЖЕНИЕ. Слагаемое + Слагаемое = Сумма

Свойства сложения
1. Переместительное а + b = b + а.
2. Сочетательное а + (b + с) = (а + b) + с.
3. а + 0= 0 + а = а.

2. ВЫЧИТАНИЕ. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность

Свойства вычитания
1. Вычитание суммы из числа а — (b + с) = а — b — с.
2. Вычитание числа из суммы (а + b) — с = а + (b — с); (а + b) — с = (а — с) + b.
3. а — 0 = а.
4. а — а = 0.

3. УМНОЖЕНИЕ. Множитель * Множитель = Произведение

Свойства умножения
1. Переместительное а*b = b*а.
2. Сочетательное а*(b*с) = (а*b)*с.
3. 1 * а = а * 1 = а.
4. 0 * а = а * 0 = 0.
5. Распределительное (а + b) * с = ас + bс; (а — b) * с = ас — bс.

4. ДЕЛЕНИЕ. Делимое: Делитель = Частное

Свойства деления
1. а: 1 = а.
2. а: а = 1. Делить на ноль нельзя!
3. 0: а= 0.

Порядок действий

1. Прежде всего действия в скобках.
2. Потом умножение, деление.
3. И только в конце сложение, вычитание.

Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.

Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 является делителем любого натурального числа.

Натуральное число называется простым , если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, числа 2, 3, 11, 23 - простые числа.

Число, имеющее более двух делителей, называется составным . Например, числа 4, 8, 15, 27 - составные числа.

Признак делимости произведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Произведение 24 15 77 делится на 12 , поскольку множитель этого числа 24 делится на 12 .

Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а: b и c: b , то (а + c) : b . А если а: b , а c не делится на b , то a + c не делится на число b .

Если а: c и c: b , то а: b . Исходя из того, что 72: 24 и 24: 12, делаем вывод, что 72: 12.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители .

Основная теорема арифметики : любое натуральное число (кроме 1 ) либо является простым , либо его можно разложить на простые множители только одним способом.

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком» В таком случае делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Например, задание: разложить на простые множители число 330 . Решение:

Признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 и 11.

Существуют признаки делимости на 6, 15, 45 и т. д., то есть на числа, произведение которых можно разложить на множители 2, 3, 5, 9 и 10 .

Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД ). Например, НОД (10; 25) = 5; а НОД (18; 24) = 6; НОД (7; 21) = 1.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1 , то эти числа называются взаимно простыми .

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

НОД часто используется в задачах. Например, между учениками одного класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько учеников в этом классе?

Решение: Нахождение количества учащихся этого класса сводится к нахождению наибольшего общего делителя чисел 155 и 62, поскольку тетради и ручки поделили поровну. 155 = 5 31; 62 = 2 31. НОД (155; 62) = 31 .

Ответ: 31 ученик в классе.

Наименьшее общее кратное

Кратным натурального числа а называется натуральное число, которое делится на а без остатка. Например, число 8 имеет кратные: 8, 16, 24, 32 , … Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Наименьшее общее кратное (НОК) называется наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК ):

НОК также часто применяется в задачах. Например, два велосипедиста одновременно стартовали по велотреку в одном направлении. Один делает круг за 1 мин, а другой - за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они встретятся на старте?

Решение: Количество минут, через которое они снова встретятся на старте, должно делиться на 1 мин , а также на 45 с . В 1 мин = 60 с. То есть необходимо найти НОК (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
НОК (45; 60) = 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
В результате получается, что велосипедисты встретятся на старте через 180 с = 3 мин.

Ответ: 3 мин.

Деление с остатком

Если натуральное число а не делится нацело на натуральное число b , то можно выполнить деление с остатком . В таком случае полученное частное называется неполным . Справедливо равенство:

а = b n + r,

где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток. Например, пусть делимое равно 243 , делитель - 4 , тогда 243: 4 = 60 (остаток 3) . То есть а = 243, b = 4, n = 60, r = 3, тогда 243 = 60 4 + 3 .

Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются четными : а = 2n , n ∈ N.

Остальные числа называются нечетными : b = 2n + 1 , n ∈ N.

Это конспект по теме «Натуральные числа. Признаки делимости» . Чтобы продолжить, выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) двух чисел воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:

Введите числа: и
НОК:
НОД:

Определить

Просто введите числа и получите результат.

Как найти НОК двух чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел – это самое маленькое число, которое можно разделить на каждое из этих чисел без остатка.

Для того чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел можно воспользоваться следующим алгоритмом (5 класс):

1. Оба числа (сначала наибольшее число).
2. Сравним множители большего числа с множителями меньшего. Выделим все множители меньшего числа, которых нет у большего.
3. Добавим выделенные множители меньшего числа к множителям большего.
4. Найдём НОК, перемножив ряд множителей, полученных в пункте 3.

Пример

Для примера определим НОК чисел 8 и 22 .

1) Раскладываем на простые множители:

2) Выделим все множители 8-ми, которых нет у 22-х:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Добавим выделенные множители 8-ми к множителям 22-х:

НОК (8; 22) = 2 · 11 · 2 · 2

4) Вычисляем НОК:

НОК (8; 22) = 2 · 11 · 2 · 2 = 88

Как найти НОД двух чисел

Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа можно разделить без остатка.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, для начала необходимо разложить их на простые множители. Затем нужно выделить общие множители, которые имеются и у первого числа и у второго. Перемножаем их – это и будет НОД. Чтобы лучше понять алгоритм рассмотрим пример:

Пример

Для примера определим НОД чисел 20 и 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

НОД(20,30) = 2⋅5 = 10