Система уравнений с двумя переменными. Уравнения первой степени. Способы решения

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» создан как наглядное пособие для ведения уроков алгебры по данной теме. В материале содержится объяснение на примерах, каким образом применяются различные способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Структурированный материал, четкое изображение, понятное объяснение голосовым сопровождением дают возможность представить данную тему в удобной форме, понятно для всех учеников. Для большей эффективности подачи материала используются анимационные эффекты, выделение цветом. Благодаря данным инструментам видеоурок может заменить объяснение учителя, освободить время учителя на уроке для улучшения качества индивидуальной работы.

В начале урока представляется его тема, а затем предлагается рассмотреть решение системы уравнений х 2 -4у 2 -х+2у=0 и х 2 -ху+у=0. Решение начинается с разложения уравнения на линейные множители. После применения формулы сокращенного умножения и вынесения общих множителей левая часть первого уравнения преобразуется в произведение (х-2у)(х+2у-1). Из него следует разбиение на два уравнения х-2у=0 и х+2у-1=0. Такое разбиение позволяет представить данную систему в виде совокупности уравнений, в которой каждое из этих уравнений составляет систему со вторым уравнением исходной системы. Очевидно, систему уравнений х-2у=0 и х 2 -ху+у=6 можно решить методом подстановки. Для этого из первого уравнения выражается х=2у, который подставляется во второе равнение. Второе уравнение преобразуется в квадратное уравнение с одной переменной. Решив квадратное уравнение, получаем результаты у 1 =-2 и у 2 =1,5. После подстановки их в выражение для вычисления х находим значения х 1 =-4 и х 2 =3. Таким же образом методом подстановки решается вторая система уравнений. После подстановки значения х из х+2у=0 во второе уравнение получаем квадратное уравнение с одной переменной. Решения данного уравнения у 1 =(2+√34)/6 и у 2 =(2-√34)/6. После подстановки значений у в выражение для вычисления х, получаем значения х 1 =(1-√34)/3 и х 2 =(1+√34)/3. Соответственно, после сделанных вычислений получаем четыре пары значений, которые являются корнями данной системы уравнений.

В решении следующей системы уравнений 3х 2 +4у=ху и х 2 -у=4ху предлагается использовать способ сложения. После сложения левых и правых частей обоих уравнений образуется суммарное уравнение 7х2=17ху. Данное уравнение после преобразования преобразуется в произведение х(7х-17у)=0, которое в свою очередь развивается на два уравнения х=0 и 7х-17у=0. Каждое из этих уравнений со вторым уравнением исходной системы образует новую систему. Решением первой системы будет пара значений х 1 =0, у 1 =0. При решении второй системы х выражается из первого уравнения через у. Выражение для х подставляется во второе уравнение. Из него определяется у, значение которого у 2 =0 и у 3 =-49/187. Соответствующие им х 2 =0 и х 3 =-119/187. Следовательно, решениями системы будут две пары значений: (0;0) и (-119/187;-49/187).

Следующей предлагается решить систему уравнений 2х 2 +3ху+у2=0 и х 2 -4ху-2у-6=0. Чтобы определить решения системы, можно разделить обе части первого уравнения на у2, учитывая, что у≠0. После деления полученное равносильное уравнение 2(х/у) 2 +3(х/у)+1=0. Очевидно, если ввести новую переменную t=х/у, то получим обычное квадратное уравнение 2t 2 +3t+1=0. Решив данное уравнение, получим корни t 1 =-1 и t 2 =-0,5. Соответственно, получаем два уравнения х/у=-1 и х/у=-0,5. Иначе данные уравнения можно представить х=-у и х=-0,5у. Вместе с уравнением х 2 -4ху-2у-6=0 каждое из этих уравнений составляет новую систему, а вместе совокупность равносильных систем. После подстановки значения х из второго уравнения в первое, а затем вычисления корней уравнения, получаем из двух систем четыре пары значений, которые являются решениями системы: (-1-√31)/5; 1+√31)/5), (-1+√31)/5; 1-√31)/5), (-1-√15)/4,5; 2+√60)/4,5), (√15-1)/4,5; 2-√60)/4,5).

Последний рассмотренный пример описывает решение симметрических систем. Предлагается решить систему уравнений х 2 +3ху+у2=9 и ху+х+у=3. Обращается внимание учеников на то, что уравнения данной системы содержат выражения х+у, ху, х 2 +у 2 . Еще одна особенность данной системы, что в ней можно произвести замену х на у и наоборот, при этом вид системы не изменится. Таким системы называются симметрическими. Данное понятие выделено на экране для запоминания. Отмечается, что такие системы лучше всего решать введением новой переменной. Для этого вводят новую переменную u= х+у и переменную v=ху. В результате такой замены получили систему уравнений u 2 -2v+3v=9 и v+u=3. После сокращения подобных слагаемых получаем первое уравнение в виде u2+v=9. Используя метод подстановки, получаем решение системы с новыми переменными: u 1 =-2, v 1 =5 и u 2 =3, v 3 =0. Используя данные пары решений, получаются две новые системы, которые необходимо решить. Первая система из уравнений х+у=-2 и ху=5, вторая система из уравнений х+у=3 и ху=0. После вычисления определяется, что решениями данных систем будут пары значений х 1 =3, у 1 =0 и х 2 =0, у 2 =3.

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» может быть полезен учителю на уроке в школе и при подаче материала в ходе дистанционного обучения. Также понятное наглядное объяснение может помочь ученику в самостоятельном изучении материала.

В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.

Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

Квадратное уравнение – 2x 2 + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Пример 6.24. Решить систему уравнений

Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.

Получаем систему уравнений

Возвращаясь к переменным x и y, получаем

Решив эту систему:

y 2 – 3y + 2 = 0,Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1) , (1; 2).

Пример 6.25. Решить систему уравнений

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

Выразив из второго уравнения (x ¹ 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим

Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем

3x 2 = – 3, X 1 = 1; X 2 = – 1, тогда Y 1 = 4; Y 2 = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).

Пример 6.26. Решим задачу.

Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м 2 .

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.

Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х 2 = 15 или

х 2 - 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение: D = (- 8) 2 - 4× 1× 15 = 64 - 60 = 4,

Х 1,2 = (8 ± Ö 4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Значит, х 1 = 5, х 2 = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у 1 = 3, а у 2 = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение х 2 - 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z 2 - 8z + 15 = 0.

Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое- нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.

Пример 6.27 . Решим систему уравнений

Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53

и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение

5х2 - 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = (- 44)2 - 4× 5× 68 = 1936 - 1360 = 576,

Х 1,2 = (44 ± 24) / 10.

Итак х 1 = 6,8; х 2 = 2, Þ у 1 = 11 - 2× 6,8 = - 2,6; у 2 = 11 - 2× 2 = 7.

Ответ: х 1 = 6,8; у 1 = - 2,6; х 2 = 2; у 2 = 7.

Цели урока: закрепить умение и навыки решения систем уравнений второй степени различными способами: графическим, способом подстановки, способом сложения; развивать познавательный интерес, внимание, память, логическое мышление; воспитать чувство ответственности, самостоятельность.

Ход урока

1. Организационный момент: цели и задачи урока.

2. Повторение материала (9 мин)

1. Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
2. Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является графиком обратной пропорциональности?
3. Каким уравнением задается окружность?
4. Как задается квадратичная функция? Что является графиком квадратичной функции? (К каждому вопросу сразу дается правильный ответ с рисунком)
5. Решить систему уравнений графическим (слайд 4)- решение (слайд5)
6. Перед Вами графики двух уравнений. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение.(слайд 6)
7. Подготовка к малому ЕГЭ (слайд 7-9)

Повторим решение систем уравнений второй степени 3 способами:

А) б) в)

Вместе проверяют решение систем уравнений, решенных на доске, учащиеся должны обосновать свое решение.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с.Црау

Алгебра 9 класс.

Открытый урок по теме

« Подготовка к ОГЭ. Решение систем уравнений второй степени. Задание №21».

Подготовила и провела

учитель математики Царукаева Ф.Ю.

март 2017 год.

Тип урока : урок закрепления полученных знаний

Цели урока:

Тест:

Вариант 1.
Часть 1.

3. Решите систему уравнений, используя метод подстановки:
а) (3;2),(2;3); б) (-2;7), (-3;8) в) (3;2)

4.Решите систему уравнений, используя метод сложения: х 2 -2у = 3,
5х 2 + у = 4.

а) (1;- 1); б) (-1; -1); в) (-1;-1);(1;-1).

Часть 2.

1.

a ) 16) 2 в) Зг) 4

2. Пусть (х 0 ;у 0 ) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения (х 0 +у 0 ) 2 .

а) 25/36; б) 25; в)13.

Тест:

Вариант 2.
Часть 1.

3. Реши систему уравнений, используя метод подстановки:
а) (2;1),(-5;8); б) (5;-2); в) (5;-2),(-2;5)

4. Реши систему уравнений, используя метод сложения: 8х+3у 2 = -21,
4х+5у 2 = 7.
а) (1; -3); б) (1;-3),(-1;-3); в) (-1;-3)

Часть 2.

1. Какую из предложенных систем уравнений можно решить с помощью данного рисунка?

2. Пусть (х 0 ;у 0 ) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения 2х 0 +у 0 .

а) 10; б) 12; в)1.

Итог урока.

Итак, наш урок подошел к концу. Мы успешно поработали, а теперь подведем итог нашему уроку. Чем мы занимались на сегодняшнем уроке?

Рассмотрели различные способы решения систем уравнений второй степени, увидели преимущество тех или иных способов в конкретных ситуациях.

А для чего нам нужно умение решать системы уравнений второй степени?

Умение решать системы уравнений второй степени используется в области атомной физики, при расчетах фундаментов строений, при составлении карт геодезических съемок.

Благодарю вас за работу и желаю успехов при выполнении домашнего задания.

Домашнее задание.

(Используя дифференцированный подход, раздаются карточки с заданиями разного уровня сложности типа К – 1, К – 2 и К – 3).

4. Задайте формулами систему уравнений второй степени, зная ее графическое решение:

7. Окончание урока:

Закончим урок притчей.

Притча – малый литературный жанр, заключающий в себе моральное поучение. Близка к басне.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?».И тот с ухмылкой ответил: «Что целый день возил проклятые камни». У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил:

«А я добросовестно выполнял своюработу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!».

Ребята! Давайте и мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

Кто работал так, как первый человек? Поднимите синие кружочки.

Кто работал добросовестно? Поднимите зеленые кружочки.

Кто принимал участие в строительстве храма? Поднимите красные кружочки.

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

│x 2 – 3xy – 2y 2 = 2

│x + 2y = 1

Решение :

Следуем правилу:

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y :

x = 1 – 2y

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y :

(1 – 2y ) 2 – 3(1 – 2y )y – 2y 2 = 2.

Раскрываем скобки и упрощаем:

8y 2 – 7y + 1 = 2.

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

8y 2 – 7y + 1 – 2 = 0

8y 2 – 7y – 1 = 0.

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

y 1 = – 0,125

y 2 = 1.

4) Осталось найти значения x . Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y . Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х 1 = 1,25.

2) х + 2 · 1 = 1
х + 2 =1
х = 1 – 2
х 2 = –1.

Ответ :

x 1 = 1,25, y 1 = – 0,125
x 2 = –1, y 2 = 1.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

│x 2 – 9y 2 – x + 3y = 0
│x 2 – xy + y = 7

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

x 2 – 9y 2 – x + 3y = (x – 3y )(x + 3y ) – (x – 3y ) = (x – 3y ) (x + 3y ) – 1(x – 3y ) = (x – 3y ) (x + 3y – 1).

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3 y )(x + 3y ) – 1(x – 3 y ). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

│(x – 3y )(x + 3y – 1) = 0
│x 2 – xy + y = 7

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

│x – 3y = 0
│x 2 – xy + y = 7

│x + 3y – 1 = 0
│x 2 – xy + y = 7

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений .

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у :

х = 3у .

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

(3у ) 2 – 3у · у + у = 7,

9у 2 – 3у 2 + у = 7,

6у 2 + у = 7,

6у 2 + у – 7 = 0

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

7
у 1 = 1, у 2 = – --.
6

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

1) х – 3 · 1 = 0,

х 1 = 3.

7
2) х – 3 · (– --) = 0,
6

7
х + -- = 0,
2

7
х 2 = – --
2

Итак, у нас есть первые ответы:

х 1 = 3, у 1 = 1;

7 7
х 2 = – --, у 2 = – --.
2 6

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

х 3 = –2, у 3 = 1.

х 4 = –2,5, у 4 = – 0,5.

Таким образом, исходная система уравнений решена.

Ответ :

1 1
(–3 - ; –1 -), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

│2x 2 + 3y = xy
│x 2 – y = 3xy

Решение .

Второе уравнение умножим на 3:

3x 2 – 3y = 9xy

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y , которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

2x 2 + 3y + 3x 2 – 3y = xy + 9xy

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

5x 2 = 10xy

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

x 2 = 2xy

Приравняем уравнение к нулю:

x 2 – 2xy = 0

Это уравнение можно представить в виде x (x – 2y ) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

│x = 0
│x 2 – y = 3xy

│x = 2y
│x 2 – y = 3xy

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y .

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x . Это ноль. То есть x 1 = 0. Легко вычислить и значение y : это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Пример решен.

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Решение .

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у :

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

–b + √D 1 + 9
у 1 = ---- = --- = 5
2a 2

–b – √D 1 – 9
у 2 = ---- = --- = –4
2a 2

Осталось найти значения х . Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х 1 = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х 2 = 13

Ответ : (4; 5), (13; –4).